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具体的,有用来探索由数学核心至其他领域上之间的连结的子领域:由逻辑、集合论(数学基础)、至不同科学的经验上的数学(应用数学)、以较近代的对于不确定性的研究(混沌、模糊数学).

就纵度而言,在数学各自领域上的探索亦越发深入.

图中数字为国家二级学科编号。

数学逻辑的早期定义是本杰明·皮尔士(Benjamin Peirce)的“得出必要结论的科学”(1870)。在Principia Mathematica,Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被称为逻辑主义的哲学程序,并试图证明所有的数学概念,陈述和原则都可以用符号逻辑来定义和证明。数学的逻辑学定义是罗素的“所有数学是符号逻辑”(1903)。

直觉主义定义,从数学家L.E.J. Brouwer,识别具有某些精神现象的数学。直觉主义定义的一个例子是“数学是一个接着一个进行构造的心理活动”。直观主义的特点是它拒绝根据其他定义认为有效的一些数学思想。特别是,虽然其他数学哲学允许可以被证明存在的对象,即使它们不能被构造,但直觉主义只允许可以实际构建的数学对象

空间的研究源自于欧式几何.三角学则结合了空间及数,且包含有非常著名的勾股定理、三角函数等。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何对象的描述,结合了数和空间的概念;亦有着拓扑群的研究,结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。

当逻辑代数的逻辑状态多于2种时(如0、1、2或更多状态时),其通用模型的基本逻辑有2个。一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑,是一个一元逻辑;另外一种是两种状态中按照某种规则(比如比较大小)有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑,这是一个二元逻辑。

依据这两种逻辑,可以表达任意多状态的任意逻辑关系,即最小表达式。即任意多状态的逻辑是完备的。当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达:加减法和比较大小。