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正式主义定义用其符号和操作规则来确定数学。 Haskell Curry将数学简单地定义为“正式系统的科学”。[33]正式系统是一组符号,或令牌,还有一些规则告诉令牌如何组合成公式。在正式系统中,公理一词具有特殊意义,与“不言而喻的真理”的普通含义不同。在正式系统中,公理是包含在给定的正式系统中的令牌的组合,而不需要使用系统的规则导出。

命题演算的一个具体模型就是逻辑代数。逻辑代数也叫做开关代数,它的基本运算是逻辑加、逻辑乘和逻辑非,也就是命题演算中的“或”、“与”、“非”,运算对象只有两个数 0和 1,相当于命题演算中的“真”和“假”。逻辑代数的运算特点如同电路分析中的开和关、高电位和低电位、导电和截止等现象完全一样,都只有两种不同的状态,因此,它在电路分析中得到广泛的应用。

利用电子元件可以组成相当于逻辑加、逻辑乘和逻辑非的门电路,就是逻辑元件。还能把简单的逻辑元件组成各种逻辑网络,这样任何复杂的逻辑关系都可以有逻辑元件经过适当的组合来实现,从而使电子元件具有逻辑判断的功能。因此,在自动控制方面有重要的应用。谓词演算也叫做命题涵项演算。在谓词演算里,把命题的内部结构分析成具有主词和谓词的逻辑形式,由命题涵项、逻辑连接词和量词构成命题,然后研究这样的命题之间的逻辑推理关系。

命题涵项就是指除了含有常项以外还含有变项的逻辑公式。常项是指一些确定的对象或者确定的属性和关系;变项是指一定范围内的任何一个,这个范围叫做变项的变域。命题涵项和命题演算不同,它无所谓真和假。如果以一定的对象概念代替变项,那么命题涵项就成为真的或假的命题了。命题涵项加上全称量词或者存在量词,那么它就成为全称命题或者特称命题了。

数理逻辑的主要分支包括:逻辑演算(包括命题演算和谓词演算)、模型论、证明论、递归论和公理化集合论。数理逻辑和计算机科学有许多重合之处,两者都属于模拟人类认知机理的科学。许多计算机科学的先驱者既是数学家、又是逻辑学家,如阿兰·图灵、邱奇等。

程序语言学、语义学的研究从模型论衍生而来,而程序验证则从模型论的模型检测衍生而来。

柯里——霍华德同构给出了“证明”和“程序”的等价性,这一结果与证明论有关,直觉逻辑和线性逻辑在此起了很大作用。λ演算和组合子逻辑这样的演算现在属于理想程序语言。

计算机科学在自动验证和自动寻找证明等技巧方面的成果对逻辑研究做出了贡献,比如说自动定理证明和逻辑编程。