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数学起源于人类早期的生产活动,古巴比伦人从远古时代开始已经积累了一定的数学知识,并能应用实际问题.从数学本身看,他们的数学知识也只是观察和经验所得,没有综合结论和证明,但也要充分肯定他们对数学所做出的贡献.

基础数学的知识与运用是个人与团体生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精炼早在古埃及、美索不达米亚及古印度内的古代数学文本内便可观见.从那时开始,其发展便持续不断地有小幅度的进展.但当时的代数学和几何学长久以来仍处于独立的状态.

现时数学已包括多个分支.创立于二十世纪三十年代的法国的布尔巴基学派则认为:数学,至少纯数学,是研究抽象结构的理论.结构,就是以初始概念和公理出发的演绎系统.他们认为,数学有三种基本的母结构:代数结构(群,环,域,格……)、序结构(偏序,全序……)、拓扑结构(邻域,极限,连通性,维数……). [1]

数学被应用在很多不同的领域上,包括科学、工程、医学和经济学等.数学在这些领域的应用一般被称为应用数学,有时亦会激起新的数学发现,并促成全新数学学科的发展.数学家也研究纯数学,也就是数学本身,而不以任何实际应用为目标.虽然有许多工作以研究纯数学为开端,但之后也许会发现合适的应用

空间的研究源自于欧式几何.三角学则结合了空间及数,且包含有非常著名的勾股定理、三角函数等。现今对空间的研究更推广到了更高维的几何、非欧几何及拓扑学。数和空间在解析几何、微分几何和代数几何中都有着很重要的角色。在微分几何中有着纤维丛及流形上的计算等概念。在代数几何中有着如多项式方程的解集等几何对象的描述,结合了数和空间的概念;亦有着拓扑群的研究,结合了结构与空间。李群被用来研究空间、结构及变化。

数理逻辑这门学科建立以后,发展比较迅速,促进它发展的因素也是多方面的。比如,非欧几何的建立,促使人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性。

集合论的产生是近代数学发展的重大事件,但是在集合论的研究过程中,出现了一次称作数学史上的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的悖论引起。什么是悖论呢?悖论就是逻辑矛盾。集合论本来是论证很严格的一个分支,被公认为是数学的基础。

1903年,英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家罗素却对集合论提出了以他名字命名的“罗素悖论”,这个悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。

罗素悖论中有许多例子,其中一个很通俗也很有名的例子就是“理发师悖论”:某乡村有一位理发师,有一天他宣布:只给不自己刮胡子的人刮胡子。那么就产生了一个问题:理发师究竟给不给自己刮胡子?如果他给自己刮胡子,他就是自己刮胡子的人,按照他的原则,他又不该给自己刮胡子;如果他不给自己刮胡子,那么他就是不自己刮胡子的人,按照他的原则,他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。

悖论的提出,促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题,从而产生了数理逻辑的一个重要分支——公理集合论。