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数学(汉语拼音:shù xué;希腊语:μαθηματικ;英语:Mathematics或Maths),源自于古希腊语的μθημα(máthēma),有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点,“学问的基础”。另外,还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。即使在其语源内,其形容词意义凡与学习有关的,亦被用来指数学。

其在英语的复数形式,及在法语中的复数形式+es成mathématiques,可溯至拉丁文的中性复数(Mathematica),由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικά(ta mathēmatiká).

在中国古代,数学叫作算术,又称算学,最后才改为数学.中国古代的算术是六艺之一(六艺中称为“数”).

亚里士多德把数学定义为“数量数学",这个定义直到18世纪。从19世纪开始,数学研究越来越严格,开始涉及与数量和量度无明确关系的群论和投影几何等抽象主题,数学家和哲学家开始提出各种新的定义。这些定义中的一些强调了大量数学的演绎性质,一些强调了它的抽象性,一些强调数学中的某些话题。即使在专业人士中,对数学的定义也没有达成共识。数学是否是艺术或科学,甚至没有一致意见。[8]许多专业数学家对数学的定义不感兴趣,或者认为它是不可定义的。有些只是说,“数学是数学家做的。”

数学定义的三个主要类型被称为逻辑学家,直觉主义者和形式主义者,每个都反映了不同的哲学思想学派。都有严重的问题,没有人普遍接受,没有和解似乎是可行的。

许多如数、函数、几何等的数学对象反应出了定义在其中连续运算或关系的内部结构。数学就研究这些结构的性质,例如:数论研究整数在算数运算下如何表示。此外,不同结构却有着相似的性质的事情时常发生,这使得通过进一步的抽象,然后通过对一类结构用公理描述他们的状态变得可能,需要研究的就是在所有的结构里找出满足这些公理的结构。因此,我们可以学习群、环、域和其他的抽象系统.把这些研究(通过由代数运算定义的结构)可以组成抽象代数的领域。由于抽象代数具有极大的通用性,它时常可以被应用于一些似乎不相关的问题,例如一些古老的尺规作图的问题终于使用了伽罗瓦理论解决了,它涉及到域论和群论。代数理论的另外一个例子是线性代数,它对其元素具有数量和方向性的向量空间做出了一般性的研究。这些现象表明了原来被认为不相关的几何和代数实际上具有强力的相关性。组合数学研究列举满足给定结构的数对象的方法。

非欧几何的产生和集合论的悖论的发现,说明数学本身还存在许多问题,为了研究数学系统的无矛盾性问题,需要以数学理论体系的概念、命题、证明等作为研究对象,研究数学系统的逻辑结构和证明的规律,这样又产生了数理逻辑的另一个分支——证明论。

数理逻辑新近还发展了许多新的分支,如递归论、模型论等。递归论主要研究可计算性的理论,它和计算机的发展和应用有密切的关系。模型论主要是研究形式系统和数学模型之间的关系。数理逻辑近年来发展特别迅速,主要原因是这门学科对于数学其它分支如集合论、数论、代数、拓扑学等的发展有重大的影响,特别是对新近形成的计算机科学的发展起了推动作用。反过来,其他学科的发展也推动了数理逻辑的发展。

正因为它是一门新近兴起而又发展很快的学科,所以它本身也存在许多问题有待于深入研究。现在许多数学家正针对数理逻辑本身的问题进行研究。

总之,这门学科的重要性已经十分明显,它已经引起了很多人的关心和重视。