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数学(汉语拼音:shù xué;希腊语:μαθηματικ;英语:Mathematics或Maths),源自于古希腊语的μθημα(máthēma),有学习、学问、科学之意。古希腊学者视其为哲学之起点,“学问的基础”。另外,还有个较狭隘且技术性的意义——“数学研究”。即使在其语源内,其形容词意义凡与学习有关的,亦被用来指数学。

其在英语的复数形式,及在法语中的复数形式+es成mathématiques,可溯至拉丁文的中性复数(Mathematica),由西塞罗译自希腊文复数τα μαθηματικά(ta mathēmatiká).

在中国古代,数学叫作算术,又称算学,最后才改为数学.中国古代的算术是六艺之一(六艺中称为“数”).

数学基础

为了弄清楚数学基础,数学逻辑和集合论等领域被发展了出来。德国数学家康托尔(1845—1918)首创集合论,大胆地向“无穷大”进军,为的是给数学各分支提供一个坚实的基础,而它本身的内容也是相当丰富的,提出了实无穷的思想,为以后的数学发展作出了不可估量的贡献。

集合论在20世纪初已逐渐渗透到了各个数学分支,成为了分析理论、测度论、拓扑学及数理科学中必不可少的工具。20世纪初,数学家希尔伯特在德国传播了康托尔的思想,把集合论称为“数学家的乐园”和“数学思想最惊人的产物”.英国哲学家罗素把康托的工作誉为“这个时代所能夸耀的最巨大的工作”。

数理逻辑这门学科建立以后,发展比较迅速,促进它发展的因素也是多方面的。比如,非欧几何的建立,促使人们去研究非欧几何和欧氏几何的无矛盾性。

集合论的产生是近代数学发展的重大事件,但是在集合论的研究过程中,出现了一次称作数学史上的第三次大危机。这次危机是由于发现了集合论的悖论引起。什么是悖论呢?悖论就是逻辑矛盾。集合论本来是论证很严格的一个分支,被公认为是数学的基础。

1903年,英国唯心主义哲学家、逻辑学家、数学家罗素却对集合论提出了以他名字命名的“罗素悖论”,这个悖论的提出几乎动摇了整个数学基础。

罗素悖论中有许多例子,其中一个很通俗也很有名的例子就是“理发师悖论”:某乡村有一位理发师,有一天他宣布:只给不自己刮胡子的人刮胡子。那么就产生了一个问题:理发师究竟给不给自己刮胡子?如果他给自己刮胡子,他就是自己刮胡子的人,按照他的原则,他又不该给自己刮胡子;如果他不给自己刮胡子,那么他就是不自己刮胡子的人,按照他的原则,他又应该给自己刮胡子。这就产生了矛盾。

悖论的提出,促使许多数学家去研究集合论的无矛盾性问题,从而产生了数理逻辑的一个重要分支——公理集合论。

当逻辑代数的逻辑状态多于2种时(如0、1、2或更多状态时),其通用模型的基本逻辑有2个。一个是从一种状态变为另一种状态的逻辑,是一个一元逻辑;另外一种是两种状态中按照某种规则(比如比较大小)有倾向性的选择出其中一种状态的逻辑,这是一个二元逻辑。

依据这两种逻辑,可以表达任意多状态的任意逻辑关系,即最小表达式。即任意多状态的逻辑是完备的。当逻辑状态数扩展有理数量级甚至更多。任意数学运算都可以用两个运算关系来联合表达:加减法和比较大小。